前陣子在同學Honda的BBS個版上看到一個關於笛卡兒的故事。其實這個故事源自於網路流傳，出處已經不詳了 (記得很久以前曾經看過不同的版本) ，在這裡引述一下....
十七世紀出生於法國的笛卡兒是第一個發現直角坐標的人，這對後人的貢獻相當大，可惜一生窮困潦倒。
一直到52歲，仍一直默默無名。當時法國正流行黑死病，笛卡兒不得不逃離，流浪到瑞典當乞丐。
某天，他在市場乞討時，有一群少女經過，
其中一名少女發現他的口音不像是瑞典人，她對笛卡兒非常好奇，於是上前問他：
「你從哪來的啊?」
「法國。」
「你是做什麼的啊?」
「我是數學家。」
這名少女叫克麗絲汀，18歲，是位公主，她和其它女孩不同，
克麗絲汀不喜歡文學，而是熱衷數學。
當她聽到笛卡兒說明身份後，感到相當大的興趣，於是把笛卡兒邀請回宮。
笛卡兒就成了她的數學老師，將一生的研究傾囊相授，
而克麗絲汀的數學也日益進步，直角坐標當時也只有笛卡兒這對師生才懂。
後來，他們之間產生了不一樣的情愫，發生喧騰一時的師生戀。
然而這件事傳到國王耳中，讓國王相當憤怒！下令將笛卡兒處死，克麗絲汀以自縊相逼，
國王害怕寶貝女兒真的會想不開，於是...將笛卡兒放逐回法國，也將克麗絲汀軟禁。
笛卡兒一回到法國沒多久就染上黑死病，躺在床上奄奄一息。
笛卡兒不斷地寫信到瑞典給克麗絲汀，都被國王攔截沒收。
克麗絲汀也就不曾收到過笛卡兒寫來的信...
就在笛卡兒快要死去的時候，他寄出了第13封信，當他寄出去沒多久後就氣絕身亡。
這封信的內容只有短短的一行...
r = a(1-sinθ)
國王攔截到這封信後拆開看，發現並不是一如往常的情話。
於是找來城裡所有科學家來研究，但都沒有任何人能夠解開。
國王心想...反正笛卡兒就快要死了，而且公主被軟禁時都悶悶不樂，便把信交給克麗絲汀。
故事暫停一下。
前陣子在PTT程設版看到有人問這樣的問題：
請問版上大大 我現在有一張image(方形)
想把他 warping 成環型(甜甜圈)
網路上沒看到相似的方法
不知道版上的高手有沒有任何想法呢
可以提供給小弟
極座標系統(Polar coordinate system)是解決這個問題的一個快速途徑。下圖 ((圖片引用自維基共享資援)) 是極座標系統的一個範例。
極座標系統定義一個中心點O，並且以與中心點的距離r，以及夾角θ，定位平面上的任何一個點。
極座標系統 (r, θ) 和我們更熟知的直角座標系 (x,y) 間，可以下列公式轉換：
[tex]x = r cos \theta[/tex]
[tex]y = r sin \theta[/tex]
記得這是理組高中數學的內容....
這樣對我們先前提到的問題有什麼幫助呢？
讓我們想想，怎樣在極座標系上，表示半徑為10的圓？
[tex]r = 10[/tex]
怎樣在極座標系上，表示一個內圈半徑為10，外圈半徑為15的環？
[tex]10 < r < 15[/tex]
要怎麼把一個矩型的圖片Wrap(變型)到一個環上，答案就呼之欲出了。
令
(x,y)為原圖上的座標
(x',y')為目的圖上的座標 (使用直角座標系，x軸向右，y軸向上)
(r,θ)為目的圖上的極標
(w,h)為原圖上的寬及高
R1為環內圈半徑，R2為環的寬度
讓我們觀查一下這組等式：
[tex] r = \frac{y}{h} \times R_{2} + R_{1} [/tex]
[tex] \theta = \frac{x}{w} \times 2\pi [/tex]
第一式讓y值越高時，r越大，距離原點越遠
第二式讓原圖的x座標轉變為目的圖的θ角，達成繞原點一週
但電腦在運算時，最直觀的方法是用點陣圖來處理。
所以我們最好把找到給定(x', y')，找到(x,y)的公式。
因此，將上述等式移項
[tex]x = \theta \times \frac{w}{2\pi} [/tex]
[tex] y = (r-R_{1}) \times \frac{h}{R_{2}} [/tex]
配合
[tex]x' = r cos \theta[/tex]
[tex]y' = r sin \theta[/tex]
便可以(x',y')反查(x,y)
讓我們直接看看實作出來的效果
假設這是原圖(點擊放大) ((這是Gun and roses樂團Paradise City的第一句歌詞)) ：
經過上述公式映射後會變成
看起來怪怪的應該是我沒有做Anti-aliasing。我用Matlab實作的程式碼置於文末，取樣時我是用nearest point，有興趣的人可以試著改成bilinear interpolation看看。
回到笛卡兒的故事吧....
當克麗絲汀收到這封信時，雀躍無比，她很高與她的愛人還是想念她。
她立刻動手研究這行字的秘密。沒多久就解出來了，用的就是「直角坐標圖」....
當 θ=0度時，r=a(1-0)=a
θ=90度時，r=a(1-1)=0
θ=180度時，r=a(1-0)=a
θ=270度時，r=a(1+1)=2a，
其中a為四截距的比值，再將所有的點連接起來...就是有名的心臟線
這是網路流傳文章的全文....可是看來他用的是極座標系統，與直角座標系並沒有直接的關係啊。
先不管這個，我們試著把這張圖畫出來吧，使用matlab是很簡單的..
close all; figure;
n = 10000;
a = 10;
X = zeros(n, 1);
Y = zeros(n, 1);
i = 0;
for theta = linspace(0, 2*pi, n+1)
i = i + 1;
r = a * ( 1 - sin(theta) );
X(i) = r * cos(theta);
Y(i) = r * sin(theta);
end
line(X,Y);
原來這張圖代表了笛卡兒對於公主的愛意啊....
最後，我們可以用上面的方法，把一張矩型的圖片Wrap到一個心型的環上嗎？
原本的等式是
[tex]x = \theta \times \frac{w}{2\pi} [/tex]
[tex] y = (r-R_{1}) \times \frac{h}{R_{2}} [/tex]
我們簡單的以
[tex]R_{1} = a \times ( 1 - sin\theta ) [/tex]
代入即可得到
看起來怪怪的，圖片被太過扭曲了。至於為什麼會這樣，答案就留給有興趣的讀者自己找尋吧...
附上本文所用到的源碼及圖片，很久沒寫Matlab了，很多地方都沒寫好。[Link]
